Итак, полученные в исследовании данные можно представить в виде таблиц. Однако использование специальных рисунков – диаграмм значительно облегчает восприятие результатов исследования. Диаграммы наглядно изображают зависимость между различными величинами. Одним из видов диаграмм являются диаграммы-линии, или графики. Построим график, иллюстрирующий данные нашего эксперимента (рис. 28, А).
Нам надо представить зависимость между концентрацией изучаемого вещества и количеством бактерий в 1 мм3 питательного раствора. Эти величины называются переменными. Концентрацию вещества мы считаем независимой переменной, так как можем задавать и изменять её по собственному усмотрению. Количество же бактерий считается зависимой переменной, поскольку она непосредственно зависит от первой величины и у нас нет других возможностей на неё повлиять. В математике эти величины называются соответственно аргументом и функцией. Таким образом, на графике будет изображена функциональная зависимость количества бактерий от количества введённого в среду препарата.
На оси абсцисс отложим значения количества введённого препарата, а на оси ординат – среднее по всем опытам количество бактерий, обнаруженное во взятой пробе. От каждой точки на обеих осях проведём перпендикулярные прямые. Точка их пересечения и будет показывать, какое количество бактерий соответствует данному количеству добавленного препарата.
В результате мы получили четыре точки, соответствующие 0; 1; 5 и 10 мг препарата. Далее мы можем рассуждать так. В эксперименте мы не использовали промежуточные количества вещества, например 0,7; или 8 мг.
Рис. 28. Примеры непрерывного графика (А), круговой (Б) и столбчатой (В) диаграммы
А какое количество бактерий мы бы обнаружили в этих случаях? Логично предположить, что это значение, например, для 7 мг находилось бы где-то между 14,8 млн и 9 млн. Мы имеем право считать, что между концентрацией вещества и количеством микроорганизмов существует непрерывная зависимость. Эта зависимость изображается на графике плавной кривой, соединяющей проставленные точки.
Часто на графиках в качестве независимой переменной выступает время. В этом случае график показывает, как изменяется какой-то показатель с течением времени, т. е. динамику развития этого показателя. Предположим, что мы определяли количество бактерий в нашем опыте не только через два часа после начала эксперимента, но также в самом его начале, через час и через три часа, и получили следующие данные (в среднем по всем экспериментам) (табл. 3).
Таблица 3
Динамика изменений количества бактерий
В этом случае мы можем построить график, где по оси ординат будет отложено время, прошедшее после добавления препарата, а по оси абсцисс – количество бактерий, обнаруженное в данное время при данной дозе вещества. Полученные точки надо соединить четырьмя кривыми, каждая из которых покажет динамику размножения бактерий при определённой концентрации препарата.
Однако не во всех случаях можно соединять точки плавными линиями, так как зависимость между переменными не всегда представляет собой непрерывную функцию. Например, если мы оценивали популярность телепрограмм и оказалось, что программа А в среднем была оценена на 1,8 балла, программа Б – на 4,1 балла, а программа В – на 2,3 балла, то плавной линии проводить нельзя, так как каждая программа существует сама по себе и переходов между ними нет. В этом случае используют столбчатую диаграмму, или гистограмму (рис. 28, Б). Существуют и другие виды диаграмм: круговые, сетчатые, диаграммы-области и пр. (рис. 28, В). Исследователь должен в каждом случае определять, какой вид диаграммы ему лучше использовать для демонстрации своих результатов.
Проверьте свои знания
1. Что означает выражение «полученные данные недостоверны»?
2. Что называется зависимой и независимой переменными? Какая из этих переменных обычно откладывается по оси абсцисс, а какая – по оси ординат?
3. В каком случае данные на графиках изображаются плавными кривыми, а в каких – столбчатыми диаграммами?
4. С помощью какого вида диаграмм удобнее всего отразить состав атмосферного воздуха; динамику изменения численности хищников и жертв в природном сообществе; процентное соотношение людей разных возрастных групп, живущих в городе?
Задания
1. Начертите матрицу. Пусть её строки означают школьные предметы, а столбцы – месяцы или четверти учебного года. В пересечения строк и столбцов занесите полученные оценки. Что означают средние величины, вычисленные по столбцам, а что – средние величины, вычисленные по строкам? Постройте графики, отражающие динамику вашей успеваемости.
2. Разработайте анкету социального опроса об отношении к природе. Проведите опрос. Проанализируйте полученные данные и представьте их в виде информационного блока на сайте школы или в стенгазете.
§ 9 Математическое моделирование
Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики.
П. ГассендиМетод моделирования.
В процессе изучения окружающего мира и создания всевозможных механизмов и приспособлений человек всегда использовал метод моделирования. Суть этого метода заключается в том, чтобы заменить изучаемый или конструируемый объект его подобием, более или менее соответствующим оригиналу. Сначала понятие модели относили только к материальным объектам, например манекен мог служить моделью человеческого тела. Существовали также уменьшенные модели для самолётов, плотин и т. п. В дальнейшем понятие «модель» получило более широкое толкование. В настоящее время моделью называют некий материальный предмет или абстрактное понятие, которые содержат главные особенности изучаемого объекта или явления. В частности, любая научная гипотеза или теория является моделью протекающих в природе процессов. Особенное значение приобретают математические модели
Современное естествознание не может обойтись без математики. Мы уже говорили о том, что фактический создатель современной науки Галилей писал, что книга природы написана на языке математики и о том, что почти всегда каждый научный эксперимент должен сопровождаться измерением. Работа Ньютона, с которой фактически началась вся современная физика, называлась «Математические начала натуральной философии». Немецкий философ Иммануил Кант писал, что в каждой науке содержится столько истины, сколько в ней математики. Именно то обстоятельство, что природные закономерности можно достаточно точно описать посредством математических формул, даёт возможность во многих случаях предсказывать ход физических процессов с помощью вычислений, не прибегая к трудоёмким, дорогостоящим, а часто и опасным экспериментам.
Используя основные законы механики с помощью относительно простых вычислений, можно рассчитывать траектории и время перемещения различных тел и силы, которые необходимо затратить для приведения их в движение, определять нагрузки, которые сможет выдержать мост или плотина. Знание уравнений электродинамики и закона сохранения энергии позволяет сконструировать электрические двигатели и генераторы таким образом, чтобы они выполняли требуемую от них работу и при этом не возгорались. Более того, вычисления, хотя и значительно более сложные, часто позволяют обнаружить те явления, которые невозможно непосредственно наблюдать. Классический пример – открытие в середине XIX в. планеты Нептун. Астрономы, ведя регулярные наблюдения за небом, Нептун «проглядели», а обнаружен он был благодаря вычислениям, сделанным на основании расчёта орбит других планет.
По мере развития математики, с появлением и совершенствованием вычислительных машин и компьютеров вычисления становились всё сложнее, а область сделанных на их основе предсказаний всё шире. Тогда и появилось понятие математического моделирования.
Математическое моделирование.
Математической моделью называют совокупность математических выражений, которые описывают основные характеристики и процессы, присущие исследуемой системе. Для того чтобы создать модель, надо выразить всё, что мы считаем существенным в изучаемом объекте, в виде математических выражений, затем ввести, также в математическом виде, начальные условия, т. е. характеристики состояния, с которого начинается расчёт, и задать алгоритм вычислений.
